Ogólnohutnicza pomoc

[dziadekrk]

Ja na nocce w robocie trochę co innego wykoncypiłem. Moje wyniki są następujące:

(Pole pow. całego rombu: 1/7 j^2 [jedn. kwadratowej])
Pole pow. czworokąta CDLM: 1/14 j^2
Max. pole pow. trójkąta KLM: 1/28j^2

Uzasadnienie napiszę później, teraz idę spać.

[huteusz]

Dzięki Zobaczymy jak Ci to wyszło.

[dziadekrk]

Ja podszedłem do tego zadania w ten sposób:

1) Obliczamy pole całego rombu (chociaż nie ma tego w zadaniu, to będzie punkt wyjścia dla określenia wartości pozostałych pól).

Z sinusa kąta ostrego łatwo obliczamy wysokość rombu (h=1/7) a z tego pole całego rombu. P rombu=1/7j^2 (bo za długość podstawy możemy wstawić dowolną wartość i jednostkę długości). (rys.1)


2) Obliczamy pole czworokąta CDLM. Żeby to zrobić musimy mieć naniesione punkty L i M. W treści zadania nie mamy podane w którym się będą znajdowały miejscu więc teoretycznie mamy nieskończenie wiele możliwości. Zauważmy jednak, że określenie jednego z tych punktów (np. L) ściśle określa położenie punktu K a co za tym idzie również punktu M. Ponieważ odcinki KL i KM mają być równoległe do przekątnych rombu, to będąc równoległymi do jednej z przekątnych są jednocześnie prostopadłe do drugiej. Tak się składa, że przekątne rombu są jednocześnie jego osiami symetrii. Czyli punkt K będzie symetrycznym odbiciem zarówno punktu L jak i punktu M względem odpowiednich przekątnych. Przekątne (osie symetrii) przecinają się pod kątem prostym, zatem punkty L i M będą wzajemnie symetryczne względem środka symetrii (punktu przecięcia się przekątnych), a odcinek je łączący (LM) będzie przechodził przez środek symetrii rombu. To oznacza, że odcinek LM w każdym przypadku będzie dzielił romb na 2 równe (pod względem powierzchni) części. Stąd pole czworokąta CDLM będzie zawsze wynosiło połowę powierzchni całego rombu. W naszym przypadku 1/14 j^2. (rys.1)


3) Obliczamy maksymalne możliwe pole trójkąta KLM. Na początku zauważmy, że podobnie jak punkty L i M są wzajemnie symetryczne względem środka symetrii, tak samo możemy wyznaczyć punkt symetryczny względem środka symetrii dla punktu K. Nazwijmy go sobie N, a trójkąt KLM będzie połową powstałego w ten sposób prostokąta KLNM. Ciągle mamy do czynienia z sytuacją, gdzie umiejscowienie jednego punktu na boku rombu determinuje położenie pozostałych punktów (wierzchołków prostokąta). Tyle, że w przeciwieństwie do czworokąta CDLM (którego powierzchnia jest zawsze stała), w zależności od umiejscowienia wierzchołków prostokąta KMNL jego powierzchnia będzie się zmieniać. Zacznijmy więc od pewnego szczególnego przypadku, umieśćmy punkt K w środku boku AB rombu. Pozostałe wierzchołki prostokąta KMNL znajdą się wówczas również w środkach pozostałych boków rombu. W tej sytuacji jak łatwo zauważyć powierzchnia prostokąta KMNL jest równa połowie powierzchni całego rombu (rys.2). Pole trójkąta a = pole trójkąta a' (symetryczne względem odcinka KL), pole trójkąta b = pole trójkąta b' itd.

Teraz możemy rozpatrzyć inne sytuacje. Odsuwając punkt K (a co za tym idzie również pozostałe wierzcholki prostokąta) od środka boku rombu, zmniejszymy powierzchnię prostokąta KMNL (pojawiają się "reszty" w postaci zakreskowanych trójkątów E i F (rys.3), które nie mają odpowiednika wewnątrz prostokąta KMNL). Im dalej odsuniemy wierzchołki prostokąta od środka boku rombu, tym powierzchnia prostokąta KMNL będzie mniejsza.
Wniosek: powierzchnia prostokąta KMNL (a zatem również trójkąta KLM) jest największa, kiedy jego wierzchołki znajdują się w środkach boków rombu ABCD i wynosi wtedy 1/2 powierzchni całego rombu ABCD, czyli 1/14 j^2. Trójkąt KLM stanowi połowę prostokąta KMNL, czyli jego maksymalna możliwa powierzchnia wyniesie 1/28j^2.

Tyle moich przemyśleń. Powodzenia na egzaminie.

[huteusz]

Wielkie dzięki za pomoc Wyniki zdają się być dobre, zastanawiam się czy w moim rozumowaniu coś jest nie tak, metoda "prób i błędów" ponoc na maturze też zyskuje maksymalna liczbę punktów, ale myślę że moje równanie kwadratowe też ma jakiś sens

Wielkie dzięki za wyczerpujące rozwiązania

Mi pierwsze dobrze wyszło, w drugim coś jest nie tak bo wychodzi pierwiastek z liczby ujemnej.

edit: tak, zrobiłem błąd obliczeniowy, przy twierdzeniu cosinusów zapomniałem pomnozyć przez dwa boki, a wiec moje pole =
1/2*sqrt(49/196-48/196) = 1/2 sqrt(1/196)=1/2*1/14=1/28

czyli dobrze!

[MarchewaNH]

[derexnh]

Dziadek - a co to za rysunki - UFO w piwnicy skladasz ??

[dziadekrk]

Dziadek - a co to za rysunki - UFO w piwnicy skladasz ??

Na mecz byś się wreszcie ruszył zamiast dowcipkować przed kompem.

[BuA SPW]

Jest ktoś na forum kto zna język rosyjski?
Potrzebuje przetłumaczyć takie zdanie:
жизнь, как посмотришь с холодным вниманьем вокруг –
Такая пустая и глупая шутка…

[metal]

nie daje gwarancji:
Życie - jak popatrzysz z chłodna uwagą (skupieniem?) wokół -
- taki pusty, głupi żart.

[MarchewaNH]

Życie - jak popatrzysz trzeźwo(obiektywnie) to taki marny żart

[huteusz]

Kurde, szkoda że teraz licea nie dają możliwości nauki ruskiego. U mnie tylko francuski, niemiecki i włoski. Tragedia.

[JOK_NH]

Zgoła odmienne zdanie mieli Ci, co mieli ruski jako jedyny język...

[huteusz]

Zapewne tak, ale to akurat całkiem zrozumiałe.

[MarchewaNH]

Czasy się zmieniają. Jak sprawić żeby znienawidzono jakiś język? Zmuszać do jego nauki.
Teraz można wybrać jakim( poza angielskim, którego znajomość przydaje się każdemu) językiem chcemy jeszcze władać Jeszcze przed liceum sam zacząłem się uczyć rosyjskiego, w liceum miałem 2 godziny tygodniowo i to prawie niczego mnie nie nauczyło (większość nauczyłem się sam lub na zajęciach dodatkowych) i kto wie czy dalsza nauka na studiach nie pójdzie własnie w te stronę.
Przy okazji. Ktoś poleca jakieś kierunki związane z rosyjskim?
Ktoś może przedstawić opinie na temat filologii na UP lub UJ?
Co lepiej? Filologia vs Rusycystyka (kulturoznawstwo)

[huteusz]

Ja jedyne co powiem to że UP najlepiej unikać, z tego co wiem i co słyszałem od ludzi. I na moje oko lepsza filologia.